趙新華1， 劉英梅1， 喬 宇2
( 1.天津大學環(huán)境科學與工程學院，天津300072；2.天津大學機械學院，天津 300072)

　　摘　要：研究了城市給水管網(wǎng)可靠度的計算，首先從可靠度與圖論原理出發(fā)，闡釋了算法設(shè)計的依據(jù)，然后從管網(wǎng)結(jié)構(gòu)的角度，以最小路原理為依據(jù)，應(yīng)用最小路不交化方法設(shè)計了給水管網(wǎng)可靠度的算法并進行了實例驗證。
　　關(guān)鍵詞：城市給水管網(wǎng)；可靠度；最小路；不交化
　　中圖分類號：TU991.33
　　文獻標識碼：C
　　文章編號：1000-4602(2002)04-0053-03

?　以最小路不交化算法為核心，從管網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)入手，分析管段的關(guān)聯(lián)關(guān)系對管網(wǎng)可靠度的影響，采用遍歷計算的方式，從單個管段的可靠度計算出管網(wǎng)中水源點與任意非水源點的可靠度，取最小值作為管網(wǎng)系統(tǒng)可靠性的評價。

1 　計算依據(jù)

　　如果給定一個網(wǎng)絡(luò)，將其整體作為一個系統(tǒng)、每條弧作為一個組件。系統(tǒng)可靠性理論的中心問題是要確定系統(tǒng)可靠度與其組件可靠度之間的關(guān)系。?
1.1 管網(wǎng)組件可用度A
　　給水管網(wǎng)在實際運行中經(jīng)常出現(xiàn)管段故障的情況，經(jīng)維修后仍投入正常運行，那么稱這樣的管段為可維修組件，其可靠度用組件可用度A表示。?
　　組件在規(guī)定的條件下，在任意時刻上正常工作的概率稱為組件瞬時可用度A(t)；與瞬時可用度相對應(yīng)的是瞬時不可用度，表示組件在規(guī)定的條件下使用時任意時刻故障的概率用Q(t)表示，顯然Q(t)=1-A(t)。?
　　采用組件瞬時可用度公式：?

　　

　　式中 ?λ——管網(wǎng)的故障率?
　　　　　 μ——管網(wǎng)的修復率?
　　將組件可用度A定義為管段從開始到使用壽命T這一時間段內(nèi)的平均可用度，即求A(t)的數(shù)學期望E［A(t)］。由函數(shù)的數(shù)學期望公式得：?

　　

　　又因為f(t)在［0，T］時間段內(nèi)服從均勻分布，f(t)=1/T、t∈［0，T］，故組件可用度的數(shù)學式表示為：

　　

　　相應(yīng)的組件不可用度Q=1-A。?
1.2 管網(wǎng)系統(tǒng)可靠度
　　在研究系統(tǒng)可靠性時，首先對所研究的對象作4點假設(shè)：?
　?、?組件和系統(tǒng)都只有正常和失效兩種狀態(tài)；?
　?、?系統(tǒng)的狀態(tài)完全由系統(tǒng)的邏輯關(guān)系和組件的狀態(tài)決定；?
　?、?組件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率即故障率λ和修復率μ均為常數(shù)；?
　?、?組件或系統(tǒng)的故障和修復都相互獨立。?
　　采用最小路不交化算法求解。設(shè)G是一個給定的網(wǎng)絡(luò)，V₁、V₂是指定的兩個節(jié)點，則基本問題是求時刻T由輸入節(jié)點V1可以到達輸出節(jié)點V2的概率，亦即求時刻T系統(tǒng)正常的概率R。?
　　對網(wǎng)絡(luò)的路及最小路的定義如下：?
　　定義1對于給定網(wǎng)絡(luò)G，從指定的節(jié)點V1經(jīng)過一串弧序列(或其中的一部分弧)可以到達節(jié)點V₂，則稱這個弧序列為從V1到V2的一條路。?
　　定義2對于給定網(wǎng)絡(luò)G，從節(jié)點V₁到V₂的弧序列稱作一條最小路，若滿足①它是一條路，②最小性，即從這個弧序列中除去任意一條弧后它即不是從V1到V2的路。?
　　由于系統(tǒng)正常這一事件可表示為S={V1可以到達V2}={由V1至少有一條最小路通到V2}，這里最小路是指組成這條最小路的弧都正常這一事件。因此，若記A1，A2，…，Am為網(wǎng)絡(luò)的所有最小路，則，，即將求可靠度問題轉(zhuǎn)化為求隨機事件和的問題。?
　　由概率論可知：　稱為容斥定理 。?
　　若能把系統(tǒng)正常這一事件表示成不交(即相斥)事件之和稱為相斥求和公式。?
　　當最小路數(shù)目不多時，用直觀方法可以得到全部最小路；若系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜，產(chǎn)生的最小路數(shù)目較多時，應(yīng)采用圖論中的鄰接矩陣法［1、2］求全部最小路。用最小路不交化方法將相依事件轉(zhuǎn)化為相斥事件，然后利用相斥求和公式求解系統(tǒng)的可靠度，從而簡化了計算過程。?
　　定理1設(shè)A1，KAm為網(wǎng)絡(luò)G的所有最小路，A1，L，Ar的長度都小于n-1，A_r+1，L，Am的長度為n-1，且r＜m，則：

　　　　

　　其中右端、Br+1、L、Bm之間不交，而Br+1、L、Bm為Ar+1、L、Am中分別添上在其中不出現(xiàn)的(l-n+1) 條弧的逆而成之事件。?

2 　算法設(shè)計

　　對于已知結(jié)構(gòu)的管網(wǎng)系統(tǒng)，每個水源點與每個非水源點之間的系統(tǒng)可靠度都可以采用最小路不交化算法求得，即：將水源點處理為輸入節(jié)點，非水源點處理為輸出節(jié)點，采用鄰接矩陣法求得網(wǎng)絡(luò)的所有最小路，并對所求得的所有最小路進行不交化處理，就可以結(jié)合組件的可用度進行此時的系統(tǒng)可靠度計算。?
　　假設(shè)管網(wǎng)的管段可用度Ax與管段不可用度Qx均已求出，且通過鄰接矩陣分析已知A1，KAm為管網(wǎng)G中水源點i與非水源點j之間的所有最小路，A₁，L，Ar的長度都小于n-1，A_r+1、L、A_m的長度為n-1，則其系統(tǒng)可靠度R的計算過程如下：
　　① 挑出長度為n-1的最小路全體A_r+1、KAm，利用公式 將求集合并的問題簡化為求代數(shù)和的形式，B_i是指在A_i中添上在其中不出現(xiàn)的(l-n+1)條弧的逆而成之事件，Bi之間不交，其概率之和作為系統(tǒng)可靠度的一部分，即最小路長度為n-1子集的可靠度R1。?
　　
　　循環(huán)計算，其中每一步使Aj與A1、L、Aj-1、不交，j=2,……，r(r為集合元素數(shù))。
　　d.?F中還有項(即r_k+1≥1)嗎?若有，則K←K+1，轉(zhuǎn)b步驟)，否則結(jié)果R₂就作為系統(tǒng)可靠度的另一部分。
　?、?R=R1+R2即為系統(tǒng)可靠度，任一條不交化最小路B_i=x₁Lx_n-1xnLxl的概率為：P{B_i}=Ax1LAx_n-1Qx_nLQx_l。
　　在分別考慮了每個非水源點與水源點之間的系統(tǒng)可靠度后，給水管網(wǎng)的可靠度取其中的最小值，即最不利點的系統(tǒng)可靠度。?

3　 實際算例

　　某市一小區(qū)給水管網(wǎng)的規(guī)劃設(shè)計，管網(wǎng)共有20個節(jié)點，其中有一個水源點、19個用水點和28條管段(見圖1)，設(shè)計供水能力為131 L/s左右，全部管段采用DN100～DN500的鑄鐵管鋪設(shè)。?

　　 故障率λ定義為單位時間單位長度管線發(fā)生故障的次數(shù)。對該市多年的經(jīng)驗數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，確定的管道故障率λ值見表1。

表1 管道故障率 管徑(mm) λ(次·a^-1·km^-1) 管徑(mm) (次·a^-1·km^-1) 100 1.02 300 0.78 150 0.95 400 0.68 200 0.90 500 0.51 250 0.85 600 0.45

　　修復率μ定義為單位時間管道維修的次數(shù)。根據(jù)該市大量管道維修業(yè)務(wù)臺帳進行統(tǒng)計，對于DN300及DN300以下的管道修復率取1095次/a，對于DN300以上的管道修 復率取730次/a。
　　本算例采用的時間段T值為5 A，從計算結(jié)果(表2)可見該小區(qū)的管網(wǎng)很可靠，即管段比較可靠和管網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)合理。在管網(wǎng)的運行中各個管段相互關(guān)聯(lián)，后者對于管網(wǎng)的改擴建工作尤其有重要意義，因為在不過多改變管徑的前提下，通過提高管網(wǎng)的連通性來提高管網(wǎng)的可靠性是既節(jié)約成本又保證管網(wǎng)可靠性的好方法。

表2 各管段可靠度計算結(jié)果 管段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 起點 20 1 1 2 2 3 5 7 5 6 6 7 7 8 終點 1 2 3 4 5 6 4 4 7 8 9 8 10 11 管徑(mm) 500 400 300 250 400 300 150 100 400 150 400 300 400 300 長度(m) 450 70 545 463 160 263 435 1115 180 495 180 170 270 396 可靠度(%) 99.93 99.93 99.76 99.92 99.88 99.77 99.88 99.81 99.79 99.70 99.72 99.74 99.40 99.71 管段 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 起點 9 9 10 11 11 14 16 14 12 13 17 17 17 18 終點 12 13 11 12 14 15 15 16 17 18 16 18 19 19 管徑(mm) 200 250 400 400 200 150 200 200 400 200 250 200 150 100 長度(m) 555 123 305 72 180 600 130 430 225 450 235 352 590 645 可靠度(%) 99.58 99.50 99.49 99.44 99.43 　 　 　 　 　 　 　 　 　

4 結(jié)語

　　從管網(wǎng)靜態(tài)結(jié)構(gòu)出發(fā)計算了管網(wǎng)系統(tǒng)的可靠度，并利用實際管網(wǎng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行了驗證，證明了算法的有效性，但還需進一步研究的問題如下：?
　?、?改進現(xiàn)有算法，引入稀疏矩陣、并行計算等方法以提高運算速度，利于大型管網(wǎng)的計算研究。?
　　② 結(jié)合管網(wǎng)運行的動態(tài)性計算管網(wǎng)的水力可靠度，但是水力可靠度的分析與結(jié)構(gòu)可靠度的分析是密不可分的，需要找到它們之間的綜合關(guān)系，進行管網(wǎng)系統(tǒng)可靠性的整體評價。?
　?、?若把可靠度的計算與管網(wǎng)改擴建工作的綜合規(guī)劃相結(jié)合，將發(fā)揮更大的作用。

參考文獻：

　　 ［1］阿布拉莫夫H H.給水系統(tǒng)可靠性［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，1990.
　?。?］Rajesh Gupta.Reliability analysis of water-distribution systems［J］.Journal of Environmental Engineering,120(2)：447-460.
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　　收稿日期：2001-10-11